（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E为棱AA1上一点，且平面BDE。（I）求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；（II）求二面角C—BE—D的余

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（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，E为棱AA₁上一点，且

平面BDE。

（I）求直线BD₁与平面BDE所成角的正弦值；
（II）求二面角C—BE—D的余弦值。

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解法一：
（Ⅰ）∵C1E⊥平面BDE，
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，
∴BC1＝，A1C1＝．
设AE＝x，则BE＝，C1E＝，

∵BC＝BE2＋C1E2，∴5＝1＋x2＋2＋(2－x)2，解得x＝1．……………………3分
连结D1E，由DE＝EB＝BD＝，得
S△BDE＝DE2＝，S△DD1E＝DD1·AD＝

1，
设点D1到平面BDE的距离为h，则由VD1—BDE＝VB—DD1E，
得·h＝·1·1，h＝．
设直线BD1与平面BDE所成的角为θ，
因BD1＝，则sinθ＝＝．………………………………………………6分
（Ⅱ）分别取BE、CE的中点M、N，则MN∥BC，且MN＝AB＝．
∵BC⊥平面ABB1A1，BEÌ平面ABB1A1，∴BC⊥BE，∴MN⊥BE．
∵BE＝BD＝DE＝，∴DM⊥BE，且DM＝，

∴∠DMN为二面角C-BE-D的平面角．…………………………………………9分
又DN＝EC＝，
∴cos∠DMN＝＝．…………

………………………………12分

解法二：
（Ⅰ）建立如图所示的坐标系D—xyz，
其中D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，C1(0，1，2)．设E(1，0，a)，则
＝(－1，1，2－a)，＝(1，1，0)，＝(1，0，a)，
∵C1E⊥平面BDE，∴⊥，
∴·＝－1＋(2－a)a＝0，解得a＝1．……………………………………3分
∴＝(－1，1，1)．
设直线BD1与平面BDE所成的角为θ，
因＝(1，1，－2)，则sinθ＝|\o(D1B,\s\up5(→EC1,\s\up5(→＝．……………………………6分
（Ⅱ）由

（Ⅰ），＝(－1，1，1)为面BDE的法向量，
设n＝(x，y，z)为面CBE的法向量，
∵＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，
∴n·＝0，n·＝0，
∴x＝0，－y＋z＝0，取n＝(0，1，1)，…………………………………………9分
∴cosá，nñ＝\o(EC1,\s\up5(→________＝，
所以二面角C-BE-D的余弦值为．……………………………………………12分

略

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（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E为棱AA1上一点，且平面BDE。（I）求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；（II）求二面角C—BE—D的余

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