(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,AC=BC=1,AAi="3"D为CCi上的点,二面角A-A1B-D的余弦值为(I)求证:CD=2;(II)求点A到平面A1BD的距离.-高三

题目简介

(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,AC=BC=1,AAi="3"D为CCi上的点,二面角A-A1B-D的余弦值为(I)求证:CD=2;(II)求点A到平面A1BD的距离.-高三

题目详情

(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,AC=BC=1, AAi="3"  DCCi上的点二面角A-A1B-D的余弦值为
(I )求证:CD=2;
(II)求点A到平面A1BD的距离.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)取AB中点EA1B1中点G,连结EG,交A1BF,连结CEC1G,作DMGEM
∵平面C1GEC⊥平面A1ABB1,∴DM⊥平面A1ABB1.
MNA1BN,连结DN,则MNDN在平面A1ABB1上的射影,则∠DNM为二面角B1-A1B-D的平面角.……………………………………………………………4分
∴cos∠DNM=,DMC1G=,∴MN=.
∵sin∠MFN==,∴MF=,∴DC=2.…………………………7分
(Ⅱ)在△A1BD中,A1D=,BD=,A1B=.
cos∠A1DB==-,sin∠A1DB=,
SA1BDA1D·BDsin∠A1DB=,
SA1AB=××3=,点D到面A1AB的距离DMCE=,
设点A到平面A1BD的距离为d,则
SA1BD·dSA1AB×,∴d=.
故点A到平面A1BD的距离为.………………………………………………12分

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