首页 > 已知函数f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f（x）的值域是[3，4]，求a+b的值．-数学

已知函数f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f（x）的值域是[3，4]，求a+b的值．-数学

题目简介

已知函数f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f（x）的值域是[3，4]，求a+b的值．-数学

题目详情

已知函数f(x)=a(2cos2
x
2
+sinx)+b．
（I）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．
题型：解答题难度：中档来源：重庆一模

答案

f(x)=a(2cos2class="stub"x
2
+sinx)+b
=a（cosx+1+sinx）+b
=
2
asin（x+class="stub"π
4
）+a+b，（2分）
（I）当a=1时，f（x）=
2
asin（x+class="stub"π
4
）+1+b，
∴当2kπ-class="stub"π
2
≤x+class="stub"π
4
≤2kπ+class="stub"π
2
（k∈Z）时，f（x）是增函数，
解得：2kπ-class="stub"3
4
≤x≤2kπ+class="stub"π
4
（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-class="stub"3π
4
，2kπ+class="stub"π
4
]（k∈Z）；（7分）
（II）由0≤x≤π，得到class="stub"π
4
≤x+class="stub"π
4
≤class="stub"5π
4
，
∴-
2
2
≤sin（x+class="stub"π
4
）≤1，（9分）
∵a＜0，∴当sin（x+class="stub"π
4
）=1时，f（x）取最小值，即
2
a+a+b=3①，
当sin（x+class="stub"π
4
）=-
2
2
时，f（x）取最大值4，即b=4，
将b=4代入①式，解得a=1-
2
，
则a+b=5-
2
．（13分）

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