已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.-数学

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已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.-数学

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已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)
(1)计算a1,a2,a3,a4
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)计算得a1=class="stub"1
2
a2=class="stub"1
6
a3=class="stub"1
12
a4=class="stub"1
20

(2)猜测:an=class="stub"1
n(n+1)
.下面用数学归纳法证明
①当n=1时,猜想显然成立.
②假设n=k(k∈N*)时,猜想成立,
ak=class="stub"1
k(k+1)

那么,当n=k+1时,Sk+1=1-(k+1)ak+1,
即Sk+ak+1=1-(k+1)ak+1.
Sk=1-kak=class="stub"k
k+1

所以class="stub"k
k+1
+ak+1=1-(k+1)ak+1

从而ak+1=class="stub"1
(k+1)(k+2)
=class="stub"1
(k+1)[(k+1)+1]

即n=k+1时,猜想也成立.
故由①和②,可知猜想成立.

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