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> 已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)
已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)
题目简介
已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)
题目详情
已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点(n,S
n
)(n∈N
*
)均在函数y=f(x)的图象上.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
=
3
a
n
a
n+1
,T
n
是数列{b
n
}的前n项和,求使得
T
n
<
m
20
对所有n∈N
*
都成立的最小正整数m.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),
则f′(x)=2ax+b,
由于f′(x)=6x-2,得
a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
所以Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,
所以,an=6n-5(n∈N*)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知
b
n
=
class="stub"3
a
n
a
n+1
=
class="stub"3
(6n-5)(6(n+1)-5)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
6n-5
-
class="stub"1
6n+1
)
,
故Tn=
n
i=1
b
i
=
class="stub"1
2
[(1-
class="stub"1
7
)+(
class="stub"1
7
-
class="stub"1
13
)+…+(
class="stub"1
6n-5
-
class="stub"1
6n+1
)]
=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
6n+1
).
因此,要使
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
6n+1
)<
class="stub"m
20
(n∈N*)成立的m,必须且仅须满足
class="stub"1
2
≤
class="stub"m
20
,即m≥10,
所以满足要求的最小正整数m为10.
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题目简介
已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)
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