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已知定义在R上的单调递增函数满足,且。（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之；（Ⅱ）解关于的不等式：；（Ⅲ）设集合,.，若集合有且仅有一个元素，求证:。-高一数学

题目简介

已知定义在R上的单调递增函数满足,且。（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之；（Ⅱ）解关于的不等式：；（Ⅲ）设集合,.，若集合有且仅有一个元素，求证:。-高一数学

题目详情

已知定义在R上的单调递增函数

满足

,且

。
（Ⅰ）判断函数

的奇偶性并证明之；
（Ⅱ）解关于

的不等式：

；
（Ⅲ）设集合

,

.

，若集合

有且仅有一个元素，求证:

。

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）函数为R上的奇函数,（Ⅱ）

,（Ⅲ）见解析

试题分析：（Ⅰ）抽象函数奇偶性的证明，先令

，再令

可求得出函数为奇函数,（Ⅱ）由（Ⅰ）知

在

上为奇函数，则

利用单调性及

与-1的关系可解得；（Ⅲ）先对

进行化简，再利用两方程有唯一解

求证.
试题解析：（Ⅰ）令

,

令

,

,
函数为R上的奇函数. （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又函数是单调递增函数,

故

（8分）
（Ⅲ）

,又

有且仅有一个元素,即方程组

有唯一解,
即

仅有一个实根,

,即

（13分）

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