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已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（m，f（m）），B（n，f（n））．（1）设b=a，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的导函数f′（x）满足：当|x|≤l时，有|f′（x）

题目简介

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（m，f（m）），B（n，f（n））．（1）设b=a，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的导函数f′（x）满足：当|x|≤l时，有|f′（x）

题目详情

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（m，f（m）），B（n，f（n））．
（1）设b=a，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的导函数f′（x）满足：当|x|≤l时，有|f′（x）|≤
3
2
恒成立，求函数f（x）的表达式；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=m和x=n处取得极值，且a+b≤2
3
．问：是否存在常数a、b，使得
OA
•
OB
=0？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：苏州二模

答案

（1）f（x）=x3-2ax2+a2x 令f'（x）=3x2-4ax+a2=0，
得：x1=class="stub"a
3
，x2=a．（2分）
1° 当a＞0 时，x1＜x2
∴所求单调增区间是(-∞，class="stub"a
3
)，（a，+∞），单调减区间是（class="stub"a
3
，a ）
2° 当a＜0 时，所求单调增区间是（-∞，a），(class="stub"a
3
，+∞)，单调减区间是（a，class="stub"a
3
 ）
3° 当a=0 时，f'（x）=3x2≥0 所求单调增区间是（-∞，+∞）．（5分）
（2）f（x）=x3-（a+b）x2+abx∴f'（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
∵当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤class="stub"3
2
∴-class="stub"3
2
≤f′(1)≤class="stub"3
2
，-class="stub"3
2
≤f′(-1)≤class="stub"3
2
，-class="stub"3
2
≤f′(0)≤class="stub"3
2
，（8分）即
-class="stub"3
2
≤3-2(a+b)+ab≤class="stub"3
2
-class="stub"3
2
≤3+2(a+b)+ab≤class="stub"3
2
-class="stub"3
2
≤ab≤class="stub"3
2
 得
ab=-class="stub"3
2
a+b=0

此时，满足当x∈[-1，1]时|f′(x)|≤class="stub"3
2
恒成立．
∴f(x)=x3-class="stub"3
2
x．（10分）
（3）存在a，b，使得
OA
•
OB
=  0，则m•n+f（m）•f（n）=0
∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0
∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由题设，m，n是f'（x）=0的两根
∴m+n=
2(a+b)
3
，mn=class="stub"ab
3
②（12分）②代入①得：ab（a-b）2=9
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=class="stub"9
ab
+4ab≥2
36
=12，当且仅当ab=class="stub"3
2
时取“=”
∴a+b≥2
3
∵a+b≤2
3
∴a+b=2
3

又∵ab=class="stub"3
2
，0＜a＜b∴a=
2
3
-
6
2
，b=
2
3
+
6
2
．（16分）

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