(本小题满分12分)已知函数f(x)="log"a(a>0且a≠1)的图像关于原点对称(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;(3)当a

题目简介

(本小题满分12分)已知函数f(x)="log"a(a>0且a≠1)的图像关于原点对称(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;(3)当a

题目详情

(本小题满分12分)
已知函数f(x)="log" a (a>0且a≠1)的图像关于原点对称
(1)求m的值;  
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;
(3)当a>1,x∈(t,a)时, f(x)的值域是(1,+∞),求a与t的值。
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

解:(1)由已知f(-x)="-f(x)" 即loga+loga="0        " ………………………….1分
∴(1-mx)(1+mx)="(x+1)(1-x)     " 1-m2x2=1-x2                ∴m=1    …………….3分
当m=1时,=-1<0 舍去    ∴ m=-1                                ……………….4分
(2)由(1)得f(x)=loga 任取1<x1<x2
f(x2)- f(x1)= loga- loga= loga   
∵1<x1<x2 ∴(x2+1)(x1-1)-(x2-1)(x1+1)=2(x1-x2) ∴0<<1
当a∈(0,1)时 loga>0,∴f(x2) > f(x1),此时f(x)为增函数…7
当a∈(1,+∞)时 loga<0,∴f(x2)< f(x1) 此时为减函数。.8分            
(3)有(2)知:当a>1时,f(x)在(1,+∞)为减函数
>0有x<-1或x>1∴(t,a) (1,+∞)        …………………………..9分
即f(x)在(t,a)上递减,∴f(a)="1," ∴a=1+,且→+∞,∴t="1" ……………12分
 

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