甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正-高三数学

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甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元

(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

(1)函数及其定义域为y=S(

+bv),v∈(0,c. (2) 为使全程运输成本y最小，当

≤c时，行驶速度应为v=

,　当

>c时行驶速度应为v=c.

(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

,全程运输成本为y=a·

+bv2·

=S(

+bv)
∴所求函数及其定义域为y=S(

+bv),v∈(0,c.
(2)依题意知，S、a、b、v均为正数
∴S(

+bv)≥2S ①
当且仅当

=bv,即v=

时，①式中等号成立

若

≤c则当v=

时，有ymin＝2S；
若

>c,则当v∈(0,c时，有S(

+bv)－S(

+bc)
=S［(

－

)+(bv－bc)］=

(c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0,且c>bc2,　∴a－bcv≥a－bc2>0
∴S(

+bv)≥S(

+bc),当且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，有ymin＝S(

+bc)；
综上可知，为使全程运输成本y最小，当

≤c时，行驶速度应为v=

,　当

>c时行驶速度应为v=c.
解法二: (1)同解法一.
(2)∵函数y=S(

+bv),　v∈(0,+∞),
当x∈(0,

)时，y单调减小，
当x∈(

,+∞)时y单调增加，
当x=

时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=Sb(v+

),v∈(0,c:
　

∴当

≤c时，则当v=

时，y最小，若

>c时，则当v=c时，y最小. 结论同上.

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正-高三数学

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