如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R。(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ=(

题目简介

如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R。(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ=(

题目详情

如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R。
(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ=(不需证明)。
(2)如图2,当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。
(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想。
题型:解答题难度:偏难来源:黑龙江省中考真题

答案

解:(2) 图2中结论PR+PQ=仍成立,
连接BP,过C点作CK⊥BD于点K,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BCD=90°,
又∵CD=AB=3,BC=4,
∴BD===5,
∵S△BCD=BC·CD=BD·CK,
∴3×4=5CK,
∴CK=
∵S△BCE=BE·CK,
S△BEP=PR·BE,
S△BCP=PQ·BC且S△BCE=S△BEP+ S△BCP,
BE·CK=PR·BE+PQ·BC,
又∵BE=BC,
CK=PR+PQ,
∴CK=PR+PQ,
又∵CK=
∴PR+PQ=
(除此方法外,只要证明方法准确、合理均可得分)
(3) 图3中的结论是PR-PQ=

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