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> 在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.-数学
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.-数学
题目简介
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.-数学
题目详情
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)由正弦定理及2acosC+ccosA=b.
得2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△ABC中,A+B+C=π,
∴A+C=π-B,即sin(A+C)=sinB.
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴sinAcosC=0
又∵0<A<π,0<C<π,
∴sinA>0.
∴cosC=0
∴C=
class="stub"1
2
π
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C=
class="stub"1
2
π
,
∴
A+B=
class="stub"1
2
π
,即B=
class="stub"1
2
π-A
.
∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=-sin2B+sinB+1=-
(sinB-
class="stub"1
2
)
2
+
class="stub"5
4
∵0
<B<
class="stub"π
2
,
∴当sinB=
class="stub"1
2
,即
B=
class="stub"π
6
时,sinAcosB+sinB取得最大值
class="stub"5
4
.
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题目简介
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.-数学
题目详情
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.
答案
得2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△ABC中,A+B+C=π,
∴A+C=π-B,即sin(A+C)=sinB.
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴sinAcosC=0
又∵0<A<π,0<C<π,
∴sinA>0.
∴cosC=0
∴C=
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C=
∴A+B=
∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=-sin2B+sinB+1=-(sinB-
∵0<B<
∴当sinB=