首页 > 已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．（I）求函数g（x）的单调递减区间；（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=23，求sin2A

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．（I）求函数g（x）的单调递减区间；（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=23，求sin2A

题目简介

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．（I）求函数g（x）的单调递减区间；（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=23，求sin2A

题目详情

已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．
（I）求函数g（x）的单调递减区间；
（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=
2
3
，求sin2A的值．
题型：解答题难度：中档来源：杭州一模

答案

（Ⅰ） f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+class="stub"π
6
)
则g(x)=|2sin(2x+class="stub"π
6
)|，∵y=|sinx|的单调递减区间为[kπ+class="stub"π
2
，kπ+π]，（k∈Z）．
∴由kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤kπ+π   得：class="stub"kπ
2
+class="stub"π
6
≤x≤class="stub"kπ
2
+class="stub"5π
12
，
则g（x）的单调递减区间为[class="stub"kπ
2
+class="stub"π
6
，class="stub"kπ
2
+class="stub"5π
12
]（k∈Z）．  
（Ⅱ）∵f（A）=class="stub"2
3
，
即：sin(2A+class="stub"π
6
)=class="stub"1
3
，
∵A∈（0，class="stub"π
2
），且sin(2A+class="stub"π
6
)＞0，
∴2A+class="stub"π
6
∈(0，π)
若2A+class="stub"π
6
∈(0，class="stub"π
2
)，则sin(2A+class="stub"π
6
)=class="stub"1
3
＜class="stub"1
2
=sinclass="stub"π
6
，∴2A+class="stub"π
6
＜class="stub"π
6
，这不可能，
∴2A+class="stub"π
6
∈(class="stub"π
2
，π)，所以cos(2A+class="stub"π
6
)=-
2
2
3

∴sin2A=sin[(2A+class="stub"π
6
)-class="stub"π
6
]=sin(2A+class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
-cos(2A+class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6
=class="stub"1
3
•
3
2
+
2
2
3
•class="stub"1
2
=
3
+2
2
6

即sin2A=
3
+2
2
6
．

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