设a>0,b>0,已知函数f(x)=.(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(1)判断f(1),f(),f()是否成等比数列,并证明f()

题目简介

设a>0,b>0,已知函数f(x)=.(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(1)判断f(1),f(),f()是否成等比数列,并证明f()

题目详情

设a>0,b>0,已知函数f(x)=
(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.
(1)判断f(1),f(),f()是否成等比数列,并证明f()≤f();
(2)a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当a>b>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递增;
当0<a<b时,f′(x)<0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递减.
(2)见解析
(1)函数的定义域为{x|x≠﹣1},
∴当a>b>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递增;
当0<a<b时,f′(x)<0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递减.
(2)(1)计算得f(1)=,f()=,f()=

∴f(1),f(),f()成等比数列,
∵a>0,b>0,∴
∴f()≤f();
(2)由(1)知f()=,f()=
故由H≤f(x)≤G,得f()≤f(x)≤f().
当a=b时,f()=f(x)=f()=f(1)=a,此时x的取值范围是(0,+∞),
当a>b时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,这时有≤x≤,即x的取值范围为≤x≤
当a<b时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,这时有≤x≤,即x的取值范围为≤x≤

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