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> (2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;(2)证明:;(3)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.(
(2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;(2)证明:;(3)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.(
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(2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;(2)证明:;(3)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.(
题目详情
(2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.
(1)求函数f(x)=(1+x)
r+1
﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;
(2)证明:
;
(3)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如
.令
的值.
(参考数据:
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)0 (2)见解析 (3)211
(1)由题意得f'(x)=(r+1)(1+x)r﹣(r+1)=(r+1)[(1+x)r﹣1],
令f'(x)=0,解得x=0.
当﹣1<x<0时,f'(x)<0,∴f(x)在(﹣1,0)内是减函数;
当x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.
故函数f(x)在x=0处,取得最小值为f(0)=0.
(2)由(1),当x∈(﹣1,+∞)时,有f(x)≥f(0)=0,
即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,
故当x>﹣1且x≠0,有(1+x)r+1>1+(r+1)x,①
在①中,令
(这时x>﹣1且x≠0),得
.
上式两边同乘nr+1,得(n+1)r+1>nr+1+nr(r+1),
即
,②
当n>1时,在①中令
(这时x>﹣1且x≠0),
类似可得
,③
且当n=1时,③也成立.
综合②,③得
,④
(3)在④中,令
,n分别取值81,82,83,…,125,
得
,
,
,…
,
将以上各式相加,并整理得
.
代入数据计算,可得
由[S]的定义,得[S]=211.
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对于给定空间中的直线l,m,n及平
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(1)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;
(2)证明:
(3)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如
(参考数据:
答案
令f'(x)=0,解得x=0.
当﹣1<x<0时,f'(x)<0,∴f(x)在(﹣1,0)内是减函数;
当x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.
故函数f(x)在x=0处,取得最小值为f(0)=0.
(2)由(1),当x∈(﹣1,+∞)时,有f(x)≥f(0)=0,
即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,
故当x>﹣1且x≠0,有(1+x)r+1>1+(r+1)x,①
在①中,令
上式两边同乘nr+1,得(n+1)r+1>nr+1+nr(r+1),
即
当n>1时,在①中令
类似可得
且当n=1时,③也成立.
综合②,③得
(3)在④中,令
得
将以上各式相加,并整理得
代入数据计算,可得
由[S]的定义,得[S]=211.