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(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.设直线交椭圆于两点,交直线于点.(1)若为的中点,求证:;(2)写出上述命题的逆命题并证明此-高三数学
题目简介
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.设直线交椭圆于两点,交直线于点.(1)若为的中点,求证:;(2)写出上述命题的逆命题并证明此-高三数学
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(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线
交椭圆
于
两点,交直线
于点
.
(1)若
为
的中点,求证:
;
(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;
(3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(1)设
,
,
又
(2)逆命题:设直线
交椭圆
于
两点,交直线
于点
.若
,则
为
的中点.
证明:由方程组
因为直线
交椭圆
于
两点,
所以
,即
,设
、
、
则
,
又因为
,所以
,故
E
为
CD
的中点.
(3)
为
中点的充要条件是
.
试题分析:(1)解法一:设
,
又
解法二(点差法):设
,
两式相减得
即
(2)逆命题:设直线
交椭圆
于
两点,交直线
于点
.若
,则
为
的中点.
证法一:由方程组
因为直线
交椭圆
于
两点,
所以
,即
,设
、
、
则
,
又因为
,所以
,故
E
为
CD
的中点.
证法二:设
则
,
两式相减得
即
又
,
即
得
,即
为
的中点.
(3)设直线
交双曲线
于
两点,交直线
于点
.则
为
中点的充要条件是
.
点评:求过定点的圆锥曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法:(1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方程.(2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与判别式求解.
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题目简介
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.设直线交椭圆于两点,交直线于点.(1)若为的中点,求证:;(2)写出上述命题的逆命题并证明此-高三数学
题目详情
设直线
(1)若
(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;
(3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).
答案
又
(2)逆命题:设直线
证明:由方程组
因为直线
所以
则
(3)
试题分析:(1)解法一:设
又
解法二(点差法):设
两式相减得
即
(2)逆命题:设直线
证法一:由方程组
因为直线
所以
则
证法二:设
则
两式相减得
即
又
得
(3)设直线
点评:求过定点的圆锥曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法:(1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方程.(2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与判别式求解.