已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m-数学

题目简介

已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
(1)证明：nⁱA

＜mⁱA

；(2)证明：(1+m)ⁿ＞(1+n)^m

题型：解答题难度：中档来源：不详

证明见解析

证明：(1)对于1＜i≤m，且A

=m·…·(m－i+1)，

，
由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有

，
所以

(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+C

m+C

m2+…+C

mn，
(1+n)m=1+C

n+C

n2+…+C

nm，
由(1)知miA

＞niA

(1＜i≤m＜n ，而C

∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C

=n0C

=1，mC

=nC

=m·n，m2C

＞n2C

，…，
mmC

＞nmC

，mm+1C

＞0，…，mnC

＞0，
∴1+C

m+C

m2+…+C

mn＞1+C

n+C2mn2+…+C

nm，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.