求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.-高三数学

题目简介

求使

≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.

题型：解答题难度：中档来源：不详

a的最小值是

解法一:由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得:
x+y+2

≤a2(x+y)，即2

≤(a2－1)(x+y)， ①
∴x，y＞0，∴x+y≥2

， ②
当且仅当x=y时，②中有等号成立.
比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，
∴a2=2，a=

(因a＞0)，∴a的最小值是

.
解法二: 设

.
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2

(当x=y时“=”成立)，
∴

≤1，

的最大值是1.
从而可知，u的最大值为

，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值为

.
解法三: ∵y＞0，
∴原不等式可化为

+1≤a，
设

=tanθ，θ∈(0，

).
∴tanθ+1≤a

即tanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθ=

sin(θ+

)， ③
又∵sin(θ+

)的最大值为1(此时θ=

).
由③式可知a的最小值为