(本小题满分12分)如图,在边长为a的正方体中,M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点.(1)求点P到平面MNQ的距离;(2)求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值.-高三数学

题目简介

(本小题满分12分)如图,在边长为a的正方体中,M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点.(1)求点P到平面MNQ的距离;(2)求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值.-高三数学

题目详情

(本小题满分12分)
如图,在边长为a的正方体中,MNPQ分别为ADCD 的中点.
(1)求点P到平面MNQ的距离;
(2)求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解:方法1(几何法):∵平面,∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离.设.∵平面MNQ平面ABCD,∴由平面MNQ,∴点P到平面MNQ的距离为.……………5分

(2)设点N到平面MNQ的距离为d.可以求得
.由
,∴.……………10分
设直线PN与平面MPQ所成的角为,则.故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为.……………12分
方法2(空间向量方法) 建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)是平面MNQ的一个法向量.

∴点P到平面MNQ的距离.……………5分
(2)设平面MPQ的一个法向量为

.……………10分
.设直线PN与平面MPQ所成的角为,则
.……………12分

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