如图,已知点P是三角形ABC外一点,且底面,点,分别在棱上,且。。(1)求证:平面;(2)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(3)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由-高二数学

题目简介

如图,已知点P是三角形ABC外一点,且底面,点,分别在棱上,且。。(1)求证:平面;(2)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(3)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由-高二数学

题目详情

 如图,已知点P是三角形ABC外一点,且底面
,点分别在棱上,且 。 。 

(1)求证:平面
(2)当的中点时,求与平面所成的角的大小;
(3)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE//BC,

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,
与平面所成的角的大小.
(3)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.      
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角是直二面角.

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