设函数f(x)=13x3+nx2+(n2-1)x+1112n的导函数在区间[n,+∞)上的最小值为an(n∈N*)(1)求an;(2)设bn=1an2,求数列bn]的前n项的和Sn.-数学

题目简介

设函数f(x)=13x3+nx2+(n2-1)x+1112n的导函数在区间[n,+∞)上的最小值为an(n∈N*)(1)求an;(2)设bn=1an2,求数列bn]的前n项的和Sn.-数学

题目详情

设函数f(x)=
1
3
x3+nx2+(n2-1)x+
11
12
n
的导函数在区间[n,+∞)上的最小值为an(n∈N*
(1)求an
(2)设bn=
1
an2
,求数列bn]的前n项的和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由f(x)=class="stub"1
3
x3+nx2+(n2-1)x+class="stub"11
12
n

得f'(x)=x2+2nx+(n2-1)
在区间[n,+∞)上的最小值为
4n2-1

∴an=
4n2-1

(2)因为bn=class="stub"1
a2n
=class="stub"1
4n2-1
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]

=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)

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