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> 在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列{an}前n项的和.-高二数学
在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列{an}前n项的和.-高二数学
题目简介
在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列{an}前n项的和.-高二数学
题目详情
在数列{
a
n
}中,
a
1
=1,当
n
≥2时,
a
n
,
S
n
,
S
n
-
成等比数列.
(1)求
a
2
,
a
3
,
a
4
,并推出
a
n
的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;
(3)求数列{
a
n
}前n项的和.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
解:∵
an
,
Sn
,
Sn
-
成等比数列,∴
Sn
2=
an
·(
Sn
-
)(
n
≥2) (*)
(1)由
a
1=1,
S
2=
a
1+
a
2=1+
a
2,代入(*)式得:
a
2=-
由
a
1=1,
a
2=-
,
S
3=
+
a
3代入(*)式得:
a
3=-
同理可得:
a
4=-
,由此可推出:
an
=
(2)①当
n
=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.
②假设
n
=
k
(
k
≥2)时,
ak
=-
成立
故
Sk
2=-
·(
Sk
-
)
∴(2
k
-3)(2
k
-1)
Sk
2+2
Sk
-1=0
∴
Sk
=
(舍)
由
Sk
+12=
ak
+1·(
Sk
+1-
),得(
Sk
+
ak
+1)2=
ak
+1(
ak
+1+
Sk
-
)
由①②知,
an
=
对一切
n
∈N成立.
(3)由(2)得数列前
n
项和
Sn
=
.
略
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(本小题满分13分)在数列{an}中
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在数列中,,为数列的前项和且,则;-
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在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列{an}前n项的和.-高二数学
题目详情
(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;
(3)求数列{an}前n项的和.
答案
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-
由a1=1,a2=-
同理可得:a4=-
(2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时,ak=-
故Sk2=-
∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0
∴Sk=
由Sk+12=ak+1·(Sk+1-
由①②知,an=
(3)由(2)得数列前n项和Sn=