已知z为复数，z+2i和z2-i均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．-高二数学

题目简介

已知z为复数，z+2i和

2-i

均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），
由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又class="stub"z

2-i

(a+bi)(2+i)

=class="stub"2a-b

+class="stub"2b+a

i∈R，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，
∵（z+ai）2=（4-2i+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i
对应的点在复平面的第一象限，
∴

16-(a-2)2＞0

8(a-2)＞0

解得a的取值范围为2＜a＜6．