已知奇函数函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1-1x(1)求f(-2)的值;(2)当x<0时,求f(x)的解析式;(3)求证:函数f(x)在区间(0,+∞)上是单

题目简介

已知奇函数函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1-1x(1)求f(-2)的值;(2)当x<0时,求f(x)的解析式;(3)求证:函数f(x)在区间(0,+∞)上是单

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已知奇函数函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1-
1
x

(1)求f(-2)的值;
(2)当x<0时,求f(x)的解析式;
(3)求证:函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)为奇函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
x>0时,f(x)=1-class="stub"1
x

f(-2)=-f(2)=-class="stub"1
2
…(4分)
(2)设x<0,则-x>0,
f(-x)=1-class="stub"1
-x
=1+class="stub"1
x
…(6分)
∵函数f(x)为奇函数
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-1-class="stub"1
x
…(9分)
(3)证明:任意0<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=-class="stub"1
x1
+1-(-class="stub"1
x2
+1)
=class="stub"1
x2
-class="stub"1
x1
=
x1-x2
x1x2

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,
x1-x2
x1x2
<0
,即f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上为增函数.

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