已知各项均为正数的数列{an}满足2an+12+3an+1•an-2an2=0,n为正整数,且a3+132是a2,a4的等差中项,(1)求数列{an}通项公式;(2)若Cn=-logan12an•Tn

题目简介

已知各项均为正数的数列{an}满足2an+12+3an+1•an-2an2=0,n为正整数,且a3+132是a2,a4的等差中项,(1)求数列{an}通项公式;(2)若Cn=-logan12an•Tn

题目详情

已知各项均为正数的数列{an}满足2an+12+3an+1•an-2an2=0,n为正整数,且a3+
1
32
a2a4
的等差中项,
(1)求数列{an}通项公式;
(2)若Cn=-
logan
1
2
an
Tn=C1+C2+…+Cn
求使Tn+n•2n+1>125成立的正整数n的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)根据题意可得:2an+12+3an+1•an-2an2=0,
所以(an+1+2an)(2an+1-an)=0,
因为数列{an}各项均为正数,
所以an+1= class="stub"1
2
an

所以数列{an}是等比数列,并且公比为class="stub"1
2

因为a3+class="stub"1
32
a2a4
的等差中项,
所以a2+a4=2a3+class="stub"1
16
,即a1q+a1q3=2a1q2+class="stub"1
16

解得:a1=class="stub"1
2

所以数列{an}通项公式为an=(class="stub"1
2
)
n

(2)由(1)可得Cn=-n•2n,
所以Tn=-2-2×22-3×23-…-n×2n…①,
所以2Tn=-22-2×23-3×24…-(n-1)2n-n×2n+1…②
所以①-②并且整理可得:Tn=(1-n)•2n-1-2.
所以要使Tn+n•2n+1>125成立,只要使2n+1-2>125成立,即2n+1>127,
所以n≥6,
所以使Tn+n•2n+1>125成立的正整数n的最小值为6.

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