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> 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且底面ABCD,,E是PA的中点.(1)求证:平面平面EBD;(2)若PA=AB=2,直线PB与平面EBD所成角的正弦值为,求四棱锥P-ABCD
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且底面ABCD,,E是PA的中点.(1)求证:平面平面EBD;(2)若PA=AB=2,直线PB与平面EBD所成角的正弦值为,求四棱锥P-ABCD
题目简介
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且底面ABCD,,E是PA的中点.(1)求证:平面平面EBD;(2)若PA=AB=2,直线PB与平面EBD所成角的正弦值为,求四棱锥P-ABCD
题目详情
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且
底面ABCD,
,E是PA的中点.
(1)求证:平面
平面EBD;
(2)若PA=AB=2,直线PB与平面EBD所成角的正弦值为
,求四棱锥P-ABCD的体积.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)证明过程详见解析;(2)
.
试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直、向量法、线面角、四棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,利用线面垂直的性质得PA⊥BD,又因为BD⊥PC,利用线面垂直的判定得到BD⊥平面PAC,最后利用面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面EBD;第二问,由于BD⊥平面PAC,所以
BD
⊥
AC
,得到ABCD为菱形,根据垂直关系建立空间直角坐标系,得到相关的的坐标,从而得到相关向量的坐标,用向量法求出平面EBD的一个法向量,再利用夹角公式列出等式,在
中,列出一个等式,2个等式联立,解出b和c的值,得到b和c即OB和OC边长后,即可求出面ABCD的面积,而PA是锥体的高,利用锥体的体积公式
求出四棱锥的体积.
试题解析:(1)因为
PA
⊥平面
ABCD
,所以
PA
⊥
BD
.
又
BD
⊥
PC
,所以
BD
⊥平面
PAC
,
因为
BD
Ì平面
EBD
,所以平面
PAC
⊥平面
EBD
. 4分
(2)由(1)可知,
BD
⊥
AC
,所以
ABCD
是菱形,
BC
=
AB
=2. 5分
设
AC
∩
BD
=
O
,建立如图所示的坐标系
O
-
xyz
,设
OB
=
b
,
OC
=
c
,
则
P
(0,-
c
,2),
B
(
b
,0,0),
E
(0,-
c
,1),
C
(0,
c
,0).
,
,
.
设
n
=(
x
,
y
,
z
)是面
EBD
的一个法向量,则
,
即
取
n
=(0,1,
c
). 8分
依题意,
. ①
记直线
PB
与平面EBD所成的角为
θ
,由已知条件
. ②
解得
,
c
=1. 10分
所以四棱锥
P
-
ABCD
的体积
. 12分
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正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底
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如图所示,在多面体ABCDEFG中,平
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