如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若BE⊥平面PCD，求平

题目简介

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．

(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）见解析（2）

设AB＝a，PA＝b，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，P(0，0，b)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，E

(1)证明：

＝

，

＝(0，2a，0)，

＝(0，0，b)，所以

＝

＋

，又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，故BE∥平面PAD.
(2)∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即

＝0，

＝(2a，2a，－b)，∴

＝2a2－

＝0，即b＝2a.
在平面BDE和平面BDC中，

＝(0，a，a)，

＝(－a，2a，0)，

＝(a，2a，0)，
所以平面BDE的一个法向量为n1＝(2，1，－1)，平面BDC的一个法向量为n2＝(0，0，1)．
cos〈n1，n2〉＝－

，所以平面EBD与平面BDC夹角的余弦值为