如图,边长为2的正方形中,点是的中点,点是的中点,将△、△分别沿、折起,使、两点重合于点,连接,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.-高三数学

题目简介

如图,边长为2的正方形中,点是的中点,点是的中点,将△、△分别沿、折起,使、两点重合于点,连接,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.-高三数学

题目详情

如图,边长为2的正方形中,点的中点,点的中点,将△、△分别沿折起,使两点重合于点,连接

(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)详见解析;(2).

试题分析:(1)由证出平面,进而证出结论;(2)方法一:根据对称可判断即为所求,由(1)可证△为直角三角形,再求出边长即可;方法二:建系,求出平面和平面的法向量,两法向量的夹角的余弦值即为所求.
试题解析:(1)在正方形中,有              1分
                                              2分
                                                        3分
平面                                                      4分
平面,∴                                        5分
(2)方法一:连接于点,连接                           6分
∵在正方形中,点的中点,点的中点,

∴点的中点,
                                                            7分
∵正方形的边长为2,∴,∴                8分
为二面角的平面角         9分

由(1)可得
∴△为直角三角形       10分
∵正方形的边长为2,


                       11分
                                    12分
                                         13分
∴二面角的余弦值为                                       14分
方法二:∵正方形的边长为2,点的中点,点的中点,

                                                            6分
,∴                                    7分

由(1)得平面
∴分别以
轴建立如图所示的空间直角
坐标系,             8分

         9分

设平面的一个法向量为,则由
可取                                                  11分
又平面的一个法向量可取                          12分
                         13分
∴二面角的余弦值为.                                 14分.

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