如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．-高三数学

题目简介

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝

AB.

(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；
(2)求二面角D－A₁C－E的正弦值．

题型：解答题难度：偏难来源：不详

（1）见解析（2）

(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝

AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，

的方向为x轴正方向，

的方向为y轴正方向，

的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，

＝(0,2,1)，

＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
则

即

可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，
则

即

可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝

＝

，故sin〈n，m〉＝

即二面角D－A1C－E的正弦值为