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> 如图,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中点.(1)求证:A1B⊥AM;(2)求二面角B­AM­C的平面角的
如图,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中点.(1)求证:A1B⊥AM;(2)求二面角B­AM­C的平面角的
题目简介
如图,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中点.(1)求证:A1B⊥AM;(2)求二面角B­AM­C的平面角的
题目详情
如图,在直三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中,∠
ACB
=90°,∠
BAC
=30°,
BC
=1,
A
1
A
=
,
M
是
CC
1
的中点.
(1)求证:
A
1
B
⊥
AM
;
(2)求二面角
B
AM
C
的平面角的大小..
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)见解析(2)45°
(1)以点
C
为原点,
CB
、
CA
、
CC
1所在直线为
x
,
y
,
z
轴,建立空间直角坐标系
C
-
xyz
,如图所示,
则
B
(1,0,0),
A
(0,
,0),
A
1(0,
,
),
M
.
所以
=(1,-
,-
),
=
.
因为
·
=1×0+(-
)×(-
)+(-
)×
=0,所以
A
1
B
⊥
AM
.
(2)因为
ABC
A
1
B
1
C
1是直三棱柱,所以
CC
1⊥平面
ABC
,又
BC
⊂平面
ABC
,所以
CC
1⊥
BC
.
因为∠
ACB
=90°,即
BC
⊥
AC
,又
AC
∩
CC
1=
C
,所以
BC
⊥平面
ACC
1
A
1,即
BC
⊥平面
AMC
.
所以
是平面
AMC
的一个法向量,
=(1,0,0).
设
n
=(
x
,
y
,
z
)是平面
BAM
的一个法向量,
=(-1,
,0),
=
.
由
得
,令
z
=2,得
x
=
,
y
=
.
所以
n
=(
,
,2)
因为|
|=1,|
n
|=2
,所以cos〈
,
n
〉=
=
,
因此二面角
B
AM
C
的大小为45°
上一篇 :
如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E、F
下一篇 :
如图,四边形ABEF和四边形ABCD均
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题目简介
如图,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中点.(1)求证:A1B⊥AM;(2)求二面角B­AM­C的平面角的
题目详情
(1)求证:A1B⊥AM;
(2)求二面角BAMC的平面角的大小..
答案
则B(1,0,0),A(0,
所以
因为
(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,所以CC1⊥BC.
因为∠ACB=90°,即BC⊥AC,又AC∩CC1=C,所以BC⊥平面ACC1A1,即BC⊥平面AMC.
所以
设n=(x,y,z)是平面BAM的一个法向量,
由
所以n=(
因为|
因此二面角BAMC的大小为45°