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> 如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。-高二数学
如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。-高二数学
题目简介
如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。-高二数学
题目详情
如图,已知四棱锥
中,底面
为菱形,
平面
,
,
分别是
的中点.
(1)证明:
平面
;
(2)取
,若
为
上的动点,
与平面
所成最大角的正切值为
,求二面角
的余弦值。
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)详见解析;(2)
试题分析:(1)用线面垂直证
,用等腰三角形中线即为高线证
即
,根据线面垂直得判定定理即可得证。(2)由(1)知
平面
,则
为
与平面
所成的角。因为
为定值,所以
最短即
最短时角的正弦值最大。故此时
。故此可推导出
的值,过
作
于
,则
平面
,过
作
于
,连接
,则
为二面角
的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析:解:方法一:(1)证明:由四边形
为菱形,
,可得
为正三角形,因为
为
的中点,
所以
1分
又
,因此
2分
因为
平面
,
平面
,
所以
3分
而
平面
,
平面
,
所以
平面
. 5分
(2)
为
上任意一点,连接
由(1)知
平面
,则
为
与平面
所成的角 6分
在
中,
,
所以当
最短时,即当
时,
最大 . 7分
此时
, 因此
又
,所以
,
所以
8分
因为
平面
,
平面
,
所以平面
平面
过
作
于
,则
平面
,
过
作
于
,连接
,则
为二面角
的平面角, 10分
在
中,
又
是
的中点,在
中,
又
11分
在
中,
即所求二面角的余弦值为
。 13分
第二问:方法二
(2)由(1)可知
两两垂直,
以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。
设
,则
(其中
) 6分
面
的法向量为
与平面
所成最大角的正切值为
7分
的最大值为
,
即
在
的最小值为
,
函数
对称轴
,
所以
,计算可得
9分
所以
设平面
的一个法向量为
,则
因此
,取
,则
11分
为平面
的一个法向量. 12分
所以
所以,所求二面角的余弦值为
13分
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如图,四棱锥的底面为一直角梯形
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在直角坐标平面内,已知向量,,A为
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如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。-高二数学
题目详情
(1)证明:
(2)取
答案
试题分析:(1)用线面垂直证
试题解析:解:方法一:(1)证明:由四边形
所以
又
因为
所以
而
所以
(2)
在
所以当
此时
又
所以
因为
所以平面
过
过
在
又
又
在
即所求二面角的余弦值为
第二问:方法二
(2)由(1)可知
以
设
面
即
所以
所以
设平面
因此
所以
所以,所求二面角的余弦值为