如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,平面,是的中点,是的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面⊥平面;(Ⅲ)求平面与平面所成的锐二面角的大小.-高三数学

题目简介

如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,平面,是的中点,是的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面⊥平面;(Ⅲ)求平面与平面所成的锐二面角的大小.-高三数学

题目详情

如图,在四棱锥中,底面是菱形,,平面的中点,的中点.   
(Ⅰ) 求证:∥平面
(Ⅱ)求证:平面⊥平面
(Ⅲ)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(Ⅰ) 取中点为,连 ∵ 的中点 ∴的中位线,∴    ∵ 中点且是菱形,
,∴ . ∴  
∴ 四边形是平行四边形. 从而 ,    ∵ 平面 ,
平面,       ∴ ∥平面      ……………………………4分
(Ⅱ)∵ ⊥平面,平面  ∴   
∵ 底面是菱形, ∴ 为正三角形, ∵中点 ∴     ∵是平面内的两条相交直线 ∴ ⊥平面
平面 ∴ 平面⊥平面  . ……………………………8分
说明:(Ⅰ) 、(Ⅱ)前两小题用向量法,解答只要言之有理均应按步给分.
(Ⅲ)以为原点,垂直于的方向为轴,的方向分别为轴、轴建立空间直角坐标系,易知.
由(Ⅱ)知⊥平面,∴是平面的一个法向量,
设平面的一个法向量为
 ,且由
在以上二式中令,则得
,设平面与平面所成锐角为 
. 
故平面与平面所成的锐角为

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