如图所示,在边长为的正方形中,点在线段上,且,,作,分别交,于点,,作,分别交,于点,,将该正方形沿,折叠,使得与重合,构成如图所示的三棱柱.(1)求证:平面;(2)求四-高三数学

题目简介

如图所示,在边长为的正方形中,点在线段上,且,,作,分别交,于点,,作,分别交,于点,,将该正方形沿,折叠,使得与重合,构成如图所示的三棱柱.(1)求证:平面;(2)求四-高三数学

题目详情

如图所示,在边长为的正方形中,点在线段上,且,作,分别交于点,作,分别交于点,将该正方形沿折叠,使得重合,构成如图所示的三棱柱
(1)求证:平面; 
(2)求四棱锥的体积;
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(1)在正方形中,因为
所以三棱柱的底面三角形的边
因为
所以,所以
因为四边形为正方形,
所以,而
所以平面.----------- 4分
(2)因为平面,所以为四棱锥的高.
因为四边形为直角梯形,且
以梯形的面积为
所以四棱锥的体积.-----------8分
(3)由(1)(2)可知,两两互相垂直.以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,、


所以
设平面的一个法向量为
,即
,则.所以
显然平面的一个法向量为
设平面与平面所成锐二面角为

所以平面与平面所成角的余弦值为

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