设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1S1+1S2+…+1Sn＜2

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设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是

和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

+…+

＜2．

题型：解答题难度：中档来源：南充一模

答案

（Ⅰ）∵Sn是

和an的等差中项，
∴2Sn=an2+an，且an＞0，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1，
∴2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，
即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，
即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，n≥2，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an=n．
（Ⅱ）∵an=n，
则Sn=

n(n+1)

，
∴class="stub"1

=class="stub"2

n(n+1)

=2（class="stub"1

-class="stub"1

n+1

），
∴class="stub"1

+class="stub"1

+…+class="stub"1

=2[（1-class="stub"1

）+（class="stub"1

-class="stub"1

）+…+（class="stub"1

-class="stub"1

n+1

）]
=2（1-class="stub"1

n+1

）＜2．
∴class="stub"1

+class="stub"1

+…+class="stub"1

＜2．

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设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1S1+1S2+…+1Sn＜2

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