已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+1xy的最小值是______.-数学

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已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+1xy的最小值是______.-数学

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已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+
1
xy
的最小值是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m,y=class="stub"1-n
2

4xy+class="stub"1
xy
=2(m-1)(n-1)+class="stub"2
(m-1)(n-1)

=2((mn-m-n+1)+class="stub"1
mn-m-n+1

=2((3-m-n)+class="stub"1
3-m-n

m+n≥2
mn
=2
2

∴原式的最小值为12
方法二:
∵(1+x)(1+2y)=2,
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2
2xy

2xy
=t>则xy=
t2
2

即1-t2≥2t 则0<t≤
2
-1,则0<t2=2xy≤3-2
2

不妨令u=2xy∈(0,3-2
2
]
则4xy+class="stub"1
xy
=2u+class="stub"2
u
,在区间(0,3-2
2
]上单调递减
故当u=3-2
2
时4xy+class="stub"1
xy
取最小值12
故答案为:12

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