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过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程．-数学

题目简介

过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程．-数学

题目详情

过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设所求的直线方程为class="stub"x
a
+class="stub"y
b
=1（a＞0，b＞0），由已知class="stub"2
a
+class="stub"1
b
=1．
于是 class="stub"2
a
•class="stub"1
b
≤(
class="stub"2
a
+class="stub"1
b
2
)2=class="stub"1
4
，当且仅当class="stub"2
a
=class="stub"1
b
=class="stub"1
2
，即a=4，b=2时，取最大值，
即S△AOB=class="stub"1
2
•ab取最小值4．
故所求的直线l的方程为class="stub"x
4
+class="stub"y
2
=1，即x+2y-4=0．
（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，得A(2-class="stub"1
k
，0)，B(0，1-2k)．
则|PA|•|PB|=
(4+4k2)(1+class="stub"1
k2
)
=
8+4(k2+class="stub"1
k2
)
≥4，
当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1，这时l的方程为x+y-3=0．

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