(12分)已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;(2)若对于都有成立,试求的取值范围;(3)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.-高二数学

题目简介

(12分)已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;(2)若对于都有成立,试求的取值范围;(3)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.-高二数学

题目详情

(12分)已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;
(2)若对于都有成立,试求的取值范围;
(3)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(1)的单调增区间是,单调减区间是(2)
(3)

试题分析:(1)由题意知直线的斜率为1.
函数的定义域为
所以,所以.
所以.
解得;由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是.                     ……4分
(2),由解得;由解得.所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以当时,函数取得最小值,.
因为对于都有成立,所以即可.
. 由解得.  
所以的范围是                                                 ……8分
(3)依题得,则.
解得;由解得.
所以函数在区间上为减函数,在区间上为增函数.
又因为函数在区间上有两个零点,所以
解得.所以的取值范围是                  ……12分
点评:导数是研究函数性质尤其是单调性的重要工具,研究函数的性质时不要忘记求函数的定义域,在定义域范围内求解;第(3)问函数的零点问题要结合函数的图象进行转化.

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