首页 > 本题满分15分）已知函数，.(Ⅰ)当时，求函数的极值点；(Ⅱ)若函数在导函数的单调区间上也是单调的，求的取值范围；(Ⅲ)当时，设，且是函数的极值点，证明：.-高三数学

本题满分15分）已知函数，.(Ⅰ)当时，求函数的极值点；(Ⅱ)若函数在导函数的单调区间上也是单调的，求的取值范围；(Ⅲ)当时，设，且是函数的极值点，证明：.-高三数学

题目简介

本题满分15分）已知函数，.(Ⅰ)当时，求函数的极值点；(Ⅱ)若函数在导函数的单调区间上也是单调的，求的取值范围；(Ⅲ)当时，设，且是函数的极值点，证明：.-高三数学

题目详情

本题满分15分）已知函数

，

.
(Ⅰ)当

时，求函数

的极值点；
(Ⅱ)若函数

在导函数

的单调区间上也是单调的，求

的取值范围；
(Ⅲ) 当

时，设

，且

是函数

的极值点，证明：

.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

或

(Ⅲ)见解析

试题分析：(Ⅰ)当

时，

（

），
令

，
解得

(舍)，

， ……1分
容易判断出函数在区间

单调递减，在区间

，+∞)上单调递增
……2分
∴

在

时取极小值. ……4分
(Ⅱ)解法一：

……5分
令

，

，设

的两根为

，
10当

即

，

≥0，∴

单调递增，满足题意. ……6分
20当

即

或

时,
(1)若

，则

,即

时,

在

上递减，

上递增，

,

∴

在(0，+∞)单调增，不合题意. ……7分
(2)若

则

,即

时

在(0，+∞)上单调增，满足题意.
……8分
(3) 若

则

即a>2时
∴

在(0，

)上单调递增，在(

，

)上单调递减，在(

，+∞)上单调递增，
不合题意. ……9分
综上得

或

. ……10分
解法二：

, ……5分
令

，

，
设

的两根

10当

即

，

≥0，∴

单调递增，满足题意. ……6分
20当

即

或

时,
(1)当

若

，即

时,

,

在

上单调递减，在

上单调递增，

，

∴

在(0，+∞)单调增不合题意. ……7分
若

，即

时，

f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意.
……8分
(2)当

时，

，

∴f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+∞)单调增，不合题意 ……9分
综上得

或

. ……10分
（Ⅲ)

，

令

，即

，当

时，

，
所以，方程

有两个不相等的正根

，
不妨设

，则当

，

＜0，
当

时，

＞0， ……11分所以，

有极小值点

和极大值点

，且

，

．

． ……13分
令

，

，
则当

时，

＝

－

＝

＜0，

在

)单调递减，……14分所以

即

……15分
点评：新课标对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式等相关知识的相互联系，要求学生具备较高的数学思维能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想.

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