首页 > 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x

题目简介

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x

题目详情

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．现已知f（x）=x3-3x2+2x-2，请解答下列问题：
（Ⅰ）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（Ⅱ）求证f（x）的图象关于“拐点”A 对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）；
（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当x1＞0，x2＞0（x1≠x2）时，试比较
G(x1)+G(x2)
2
与G(
x1+x2
2
)的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f′（x）=3x2-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f（1）=13-3+2-2=-2∴拐点A（1，-2）…（3分）
（2）设P（x0，y0）是y=f（x）图象上任意一点，则y0=x03-3x02+2x0-2，因为P（x0，y0）关于A（1，-2）的对称点为P'（2-x0，-4-y0），
把P'代入y=f（x）得左边=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2
右边=（2-x0）3-3（2-x0）2+2（2-x0）-2=-x03+3x02-2x0-2∴右边=右边∴P′（2-x0，-4-y0）在y=f（x）图象上∴y=f（x）关于A对称        …（7分）
结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”（写出其中之一）…（9分）
（3）设G（x）=ax3+bx2+d，则G（0）=d=1…（10分）∴G（x）=ax3+bx2+1，G'（x）=3ax2+2bx，G''（x）=6ax+2bG''（0）=2b=0，b=0，∴G（x）=ax3+1=0…（11分）
法一：
G(x1)+G(x2)
2
-G(
x1+x2
2
)=class="stub"a
2
x31
+class="stub"a
2
x32
-a(
x1+x2
2
)3=a[class="stub"1
2
x31
+class="stub"1
2
x32
-(
x1+x2
2
)3]=class="stub"a
2
[
x31
+
x32
-
x31
+
x32
+3
x21
x2+3x1
x22
4
]=class="stub"a
8
(3
x31
+3
x32
-3
x21
x2-3x1
x22
)=class="stub"a
8
[3
x21
(x1-x2)-3
x22
(x1-x2)]=class="stub"3a
8
(x1-x2)2(x1+x2)…（13分）
当a＞0时，
G(x1)+G(x2)
2
＞G(
x1+x2
2
)
当a＜0时，
G(x1)+G(x2)
2
＜G(
x1+x2
2
)…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，当a＞0时，且x＞0时，G′′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）为凹函数，∴
G(x1)+G(x2)
2
＞G(
x1+x2
2
)…（13分）
当a＜0时，G′′（x）＜0，∴G（x）在（0，+∞）为凸函数∴
G(x1)+G(x2)
2
＜G(
x1+x2
2
)…（14分）

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