如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC.（1）求证：AP与⊙O相切；（2）如果AC=3，求PD的长.-九年级数学

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如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC.
（1）求证：AP与⊙O相切；
（2）如果AC=3，求PD的长.

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明见解析；（2）

试题分析：（1）连接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根据切线判定推出即可.
（2）根据∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半径，在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可．
试题解析：（1）如图，连接OA，
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°.
∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°.
∴∠OAP=90°，即OA⊥AP.
∵点O在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．
（2）如图，连接AD，
∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°.
∴AD=AC∙tan30°=

，CD=2AD=2

.
∴DO=AO=

CD=

.
在Rt△PAO中，由勾股定理得：

，
∴

.
∵PD的值为正数，
∴PD=

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如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC.（1）求证：AP与⊙O相切；（2）如果AC=3，求PD的长.-九年级数学

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