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> 已知函数,其中为常数,设为自然对数的底数.(1)当时,求的最大值;(2)若在区间上的最大值为,求的值.-高三数学
已知函数,其中为常数,设为自然对数的底数.(1)当时,求的最大值;(2)若在区间上的最大值为,求的值.-高三数学
题目简介
已知函数,其中为常数,设为自然对数的底数.(1)当时,求的最大值;(2)若在区间上的最大值为,求的值.-高三数学
题目详情
已知函数
,其中
为常数,设
为自然对数的底数.
(1)当
时,求
的最大值;
(2)若
在区间
上的最大值为
,求
的值.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(1)
(2)
试题分析:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=lnx-x,f′(x)=
-1=
令f′(x)>0得,0<x<1,令f′(x)<0得,x>1或x<0,∴函数f(x)增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);
(2)f′(x)=
①当a>0时,x>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(0.e]上是增函数,
∴f(x)max=f(e)=2,∴a+1=2,∴a=e符号题意;
②当a<0时,令f′(x)=0得x=-
,
1°若0<-
≤e,即-
≤a<0时
∴f(x)max=f(-a)=2
∴-1+ln(-a)=2,
∴a=-e2不符号题意,舍去;
2°若-a>e,即a<-e时,在(0,e]上f′(x)>0.∴f(x)在(0.e]上是增函数,故f(x)max=f(
)=2∴a=
不符号题意,舍去;故a=
点评:考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法,注意函数的定义域;属难题
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(2)f′(x)=
①当a>0时,x>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(0.e]上是增函数,
∴f(x)max=f(e)=2,∴a+1=2,∴a=e符号题意;
②当a<0时,令f′(x)=0得x=-
1°若0<-
∴-1+ln(-a)=2,
∴a=-e2不符号题意,舍去;
2°若-a>e,即a<-e时,在(0,e]上f′(x)>0.∴f(x)在(0.e]上是增函数,故f(x)max=f(
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