首页 > 设函数f(x)=log12x+1x-1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(12)x+m恒成立，求实数

设函数f(x)=log12x+1x-1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(12)x+m恒成立，求实数

题目简介

设函数f(x)=log12x+1x-1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(12)x+m恒成立，求实数

题目详情

设函数f(x)=log
1
2
x+1
x-1
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(
1
2
)x+m恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数f（x）是奇函数
由class="stub"x+1
x-1
＞0得x＞1或x＜-1，又f(-x)=logclass="stub"1
2
class="stub"-x+1
-x-1
=-f(x)，∴函数f（x）是奇函数
（2）不妨设u(x)=class="stub"x+1
x-1
，1＜x1＜x2，则u(x1)-u(x2)=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
，∵1＜x1＜x2，∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0，∴u(x1)-u(x2)=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
＞0，∴u（x1）＞u（x2），
又f(x)=logclass="stub"1
2
u(x)，∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）由题意，x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(class="stub"1
2
)x+m恒成立，等价于f(3)-(class="stub"1
2
)3＞m，解得m＜-class="stub"9
8
．

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