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> 已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距
已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距
题目简介
已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距
题目详情
已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA
1
⊥底面ABC,AB=2,AA
1
=4,E为AA
1
的中点,F为BC的中点
(1)求证:直线AF
∥
平面BEC
1
(2)求A到平面BEC
1
的距离.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)取BC1的中点H,连接HE、HF,
则△BCC1中,HF
∥
CC1且HF=
class="stub"1
2
CC1
又∵平行四边形AA1C1C中,AE
∥
CC1且AE=
class="stub"1
2
CC1
∴AE
∥
HF且AE=HF,可得四边形AFHE为平行四边形,
∴AF
∥
HE,
∵AF⊄平面REC1,HE⊂平面REC1
∴AF
∥
平面REC1.…(6分)
(2)等边△ABC中,高AF=
3
2
AB
=
3
,所以EH=AF=
3
由三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,得C1到平面AA1B1B的距离等于
3
∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得EH⊥BC1
可得S△
BE
C
1
=
class="stub"1
2
BC1•EH=
class="stub"1
2
×
4
2
+
2
2
×
3
=
15
,
而S△ABE=
class="stub"1
2
AB×BE=2
由等体积法得VA-BEC1=VC1-BEC,
∴
class="stub"1
3
S△
BE
C
1
×d=
class="stub"1
3
S△ABE×
3
,(d为点A到平面BEC1的距离)
即
class="stub"1
3
×
15
×d=
class="stub"1
3
×2×
3
,解之得d=
2
5
5
∴点A到平面BEC1的距离等于
2
5
5
.…(12分)
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1
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四面体ABCD中,AB=BC==CD=DB,点A
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已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距
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(1)求证:直线AF∥平面BEC1
(2)求A到平面BEC1的距离.
答案
则△BCC1中,HF∥CC1且HF=
又∵平行四边形AA1C1C中,AE∥CC1且AE=
∴AE∥HF且AE=HF,可得四边形AFHE为平行四边形,
∴AF∥HE,
∵AF⊄平面REC1,HE⊂平面REC1
∴AF∥平面REC1.…(6分)
(2)等边△ABC中,高AF=
由三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,得C1到平面AA1B1B的距离等于
∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得EH⊥BC1
可得S△BEC1=
而S△ABE=
由等体积法得VA-BEC1=VC1-BEC,
∴
即
∴点A到平面BEC1的距离等于