已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距

题目简介

已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距

题目详情

已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点
(1)求证:直线AF平面BEC1
(2)求A到平面BEC1的距离.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)取BC1的中点H,连接HE、HF,
则△BCC1中,HFCC1且HF=class="stub"1
2
CC1
又∵平行四边形AA1C1C中,AECC1且AE=class="stub"1
2
CC1
∴AEHF且AE=HF,可得四边形AFHE为平行四边形,
∴AFHE,
∵AF⊄平面REC1,HE⊂平面REC1
∴AF平面REC1.…(6分)
(2)等边△ABC中,高AF=
3
2
AB
=
3
,所以EH=AF=
3

由三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,得C1到平面AA1B1B的距离等于
3

∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得EH⊥BC1
可得S△BEC1=class="stub"1
2
BC1•EH=class="stub"1
2
×
42+22
×
3
=
15

而S△ABE=class="stub"1
2
AB×BE=2
由等体积法得VA-BEC1=VC1-BEC,
class="stub"1
3
S△BEC1×d=class="stub"1
3
S△ABE×
3
,(d为点A到平面BEC1的距离)
class="stub"1
3
×
15
×d=class="stub"1
3
×2×
3
,解之得d=
2
5
5

∴点A到平面BEC1的距离等于
2
5
5
.…(12分)

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