首页 > 己知向量a=(2sinx2，1-2cosx2)，b=(cosx2，1+2cosx2)，函数f(x)=log12（a•b）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．-数学

己知向量a=(2sinx2，1-2cosx2)，b=(cosx2，1+2cosx2)，函数f(x)=log12（a•b）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．-数学

题目简介

己知向量a=(2sinx2，1-2cosx2)，b=(cosx2，1+2cosx2)，函数f(x)=log12（a•b）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．-数学

题目详情

己知向量a=(2sin
x
2
，1-
2
cos
x
2
)，b=(cos
x
2
，1+
2
cos
x
2
)，函数f(x)=log
1
2
（a•b）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵
a
•
b
=2sinclass="stub"x
2
cosclass="stub"x
2
+(1-
2
cosclass="stub"x
2
)(1+
2
cosclass="stub"x
2
)=sinx+1-2cos2class="stub"x
2

=sinx-cosx=
2
sin(x-class="stub"π
4
)．
由sin(x-class="stub"π
4
)＞0，
得2kπ＜x-class="stub"π
4
＜2kπ+π，
即2kπ+class="stub"π
4
＜x＜2kπ+class="stub"5π
4
，k∈Z．
∴f（x）的定义域是(2kπ+class="stub"π
4
，2kπ+class="stub"5π
4
)，k∈Z．
∵0＜
2
sin(x-class="stub"π
4
)≤
2
，则f(x)≥logclass="stub"1
2
2
=-class="stub"1
2
，
∴f（x）的值域是[-class="stub"1
2
，+∞)．
（Ⅱ）由题设f(x)=logclass="stub"1
2
2
sin(x-class="stub"π
4
)．
若f（x）为增函数，则y=
2
sin(x-class="stub"π
4
)为减函数，
∴2kπ+class="stub"π
2
≤x-class="stub"π
4
＜2kπ+π，
即2kπ+class="stub"3π
4
≤x＜2kπ+class="stub"5π
4
，
∴f（x）的递增区间是[2kπ+class="stub"3π
4
，2kπ+class="stub"5π
4
)，k∈Z．
若f（x）为减函数，则y=
2
sin(x-class="stub"π
4
)为增函数，
∴2kπ＜x-class="stub"π
4
≤2kπ+class="stub"π
2
，即2kπ+class="stub"π
4
＜x≤2kπ+class="stub"3π
4
，
∴f（x）的递减区间是(2kπ+class="stub"π
4
，2kπ+class="stub"3π
4
]，k∈Z．

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