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已知m=(cosωx+sinωx，3cosωx)，n=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0．设函数f(x)=m•n，且函数f（x）的周期为π．（I）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b

题目简介

已知m=(cosωx+sinωx，3cosωx)，n=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0．设函数f(x)=m•n，且函数f（x）的周期为π．（I）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b

题目详情

已知
m
=(cosωx+sinωx，
3
cosωx)，
n
=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0．设函数f(x)=
m
•
n
，且函数f（x）的周期为π．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差：当f（B）=1'时，判断△ABC的形状．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


（I）∵
m
=(cosωx+sinωx，
3
cosωx)，
n
=(cosωx-sinωx，2sinωx)  (ω＞0)
∴f(x)=
m
•
n
=
m
=cos2ωx-sin2ωx+2
3
cosωxsinωx=cos2ωx+
3
sin2ωx，
∴f(x)=2sin(2ωx+class="stub"π
6
)

∵函数f（x）的周期为π∴T=class="stub"2π
2ω
=π∴ω=1
（Ⅱ）在△ABC中f(B)=1∴2sin(2B+class="stub"π
6
)=1∴sin(2B=class="stub"π
6
)=class="stub"1
2

又∵0＜B＜π∴class="stub"π
6
＜2B+class="stub"π
6
＜class="stub"7
6
π
∵2B+class="stub"π
6
=class="stub"5π
5
∴B=class="stub"π
3
∵a，b，c成等差∴2b=a+c
∴cosB=cosclass="stub"π
3
=
a2+c2-b2
2ac
=class="stub"1
2
∴ac=a2+c2-
(a+c)2
4

化简得：a=c又∵B=class="stub"π
3
∴△ABC为正三角形

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