已知f(x)=a•b,其中向量a=(2cosx,-3sin2x),b=(cosx,1)(x∈R)(Ⅰ)求f(x)的周期和单调递减区间;(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,f(A)=

题目简介

已知f(x)=a•b,其中向量a=(2cosx,-3sin2x),b=(cosx,1)(x∈R)(Ⅰ)求f(x)的周期和单调递减区间;(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,f(A)=

题目详情

已知f(x)=
a
b
,其中向量
a
=(2cosx,-
3
sin2x)
b
=(cosx,1)(x∈R)
(Ⅰ)求f (x)的周期和单调递减区间;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=
7
AB
AC
=3
,求边长b和c的值(b>c).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由题意知:
f(x)=
a
b
=2cos2x-
3
sin2x=1+cos2x-
3
sin2x=1+2cos(2x+class="stub"π
3
)

∴f(x)的最小正周期 T=π.…(4分)
由 2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+π,k∈z,求得kπ-class="stub"π
6
≤ x ≤ kπ+class="stub"π
3
,k∈z.
∴f(x)的单调递减区间[kπ-class="stub"π
6
,kπ+class="stub"π
3
],k∈z
,k∈z.…(6分)
(2)∵f (A)=1+2cos(2A+class="stub"π
3
)
=-1,∴cos(2A+class="stub"π
3
)=-1
,…(8分)
class="stub"π
3
<2A+class="stub"π
3
class="stub"7π
3
,∴2A+class="stub"π
3
=π,A=class="stub"π
3
.…(9分)
AB
AC
=3
 即bc=6,由余弦定理得  a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,7=(b+c)2-18,b+c=5,…(11分)
又b>c,∴b=3,c=2.…(12分)

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