首页 > 设平面向量a=(cosx，sinx)，b=(32，12)，函数f(x)=a•b+1．①求函数f（x）的值域；②求函数f（x）的单调增区间．③当f(α)=95，且π6＜α＜2π3时，求sin(2α+2π

设平面向量a=(cosx，sinx)，b=(32，12)，函数f(x)=a•b+1．①求函数f（x）的值域；②求函数f（x）的单调增区间．③当f(α)=95，且π6＜α＜2π3时，求sin(2α+2π

题目简介

设平面向量a=(cosx，sinx)，b=(32，12)，函数f(x)=a•b+1．①求函数f（x）的值域；②求函数f（x）的单调增区间．③当f(α)=95，且π6＜α＜2π3时，求sin(2α+2π

题目详情

设平面向量
a
=(cosx，sinx)，
b
=(
3
2
，
1
2
)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
①求函数f（x）的值域；
②求函数f（x）的单调增区间．
③当f(α)=
9
5
，且
π
6
＜α＜
2π
3
时，求sin(2α+
2π
3
)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

依题意f（x）=（cosx，sinx）•(
3
2
，class="stub"1
2
)+1=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx+1（2分）
=sin(x+class="stub"π
3
)+1（5分）
①函数f（x）的值域是[0，2]；（6分）
②令-class="stub"π
2
+2kπ≤x+class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
+2kπ，
解得：-class="stub"5π
6
+2kπ≤x≤class="stub"π
6
+2kπ，
所以函数f（x）的单调增区间为[-class="stub"5π
6
+2kπ，class="stub"π
6
+2kπ](k∈Z)；（8分）
③由f(α)=sin(α+class="stub"π
3
)+1=class="stub"9
5
，得sin(α+class="stub"π
3
)=class="stub"4
5
，
因为class="stub"π
6
＜α＜class="stub"2π
3
，所以class="stub"π
2
＜α+class="stub"π
3
＜π，
得cos(α+class="stub"π
3
)=-class="stub"3
5
，（11分）
则sin(2α+class="stub"2π
3
)=sin2(α+class="stub"π
3
)
=2sin(α+class="stub"π
3
)cos(α+class="stub"π
3
)=-2×class="stub"4
5
×class="stub"3
5
=-class="stub"24
25
（13分）．

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