首页 > 已知m=(asinx，cosx)，n=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f（x）=m•n满足f（π6）=2，且f（x）的图象关于直线x=π3对称．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程

已知m=(asinx，cosx)，n=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f（x）=m•n满足f（π6）=2，且f（x）的图象关于直线x=π3对称．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程

题目简介

已知m=(asinx，cosx)，n=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f（x）=m•n满足f（π6）=2，且f（x）的图象关于直线x=π3对称．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程

题目详情

已知
m
=(asinx，cosx)，
n
=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f（x）=
m
•
n
满足f（
π
6
）=2，且f（x）的图象关于直线x=
π
3
对称．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，
π
2
]上总有实数解，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f(x)=
m
•
n
=asin2x+bsinxcosx=class="stub"a
2
(1-cos2x)+class="stub"b
2
sin2x
由f(class="stub"π
6
)=2得，a+
3
b=8①
∵f（x）的图象关于x=class="stub"π
3
对称，∴f(0)=f(class="stub"2
3
π)∴b=
3
a②
由①、②得，a=2，b=2
3

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+
3
sin2x=2sin(2x-class="stub"π
6
)+1
∵x∈[0，class="stub"π
2
]，-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
，
∴-1≤2sin(2x-class="stub"π
6
)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log2k=0有解，即f（x）=-log2k有解，
∴-3≤log2k≤0，解得class="stub"1
8
≤k≤1，即k∈[class="stub"1
8
，1]．

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