△ABC中,角A、B、C对边分别是a、b、c,满足2AB•AC=a2-(b+c)2.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求23cos2C2-sin(4π3-B)的最大值,并求取得最大值时角B、C的大小.-数学

题目简介

△ABC中,角A、B、C对边分别是a、b、c,满足2AB•AC=a2-(b+c)2.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求23cos2C2-sin(4π3-B)的最大值,并求取得最大值时角B、C的大小.-数学

题目详情

△ABC中,角A、B、C对边分别是a、b、c,满足2
AB
AC
=a2-(b+c)2

(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求2
3
cos2
C
2
-sin(
3
-B)
的最大值,并求取得最大值时角B、C的大小.
题型:解答题难度:中档来源:资阳二模

答案

解 (Ⅰ)由已知2
AB
AC
=a2-(b+c)2

化为2bccosA=a2-b2-c2-2bc,(2分)
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得4bccosA=-2bc,
cosA=-class="stub"1
2
,(4分)
∵0<A<π,∴A=class="stub"2π
3
.(6分)
(Ⅱ)∵A=class="stub"2π
3
,∴B=class="stub"π
3
-C
0<C<class="stub"π
3

2
3
cos2class="stub"C
2
-sin(class="stub"4π
3
-B)=2
3
×class="stub"1+cosC
2
+sin(class="stub"π
3
-B)

=
3
+2sin(C+class="stub"π
3
)
.(8分)
0<C<class="stub"π
3
,∴class="stub"π
3
<C+class="stub"π
3
<class="stub"2π
3

∴当C+class="stub"π
3
=class="stub"π
2
2
3
cos2class="stub"C
2
-sin(class="stub"4π
3
-B)
取最大值2+
3

解得B=C=class="stub"π
6
.(12分)

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