首页 > 设函数f（x）=a•b，其中a=（2cosx，1）b=（cosx，3sin2x），x∈R．（1）求函数f（x）在区间[-π3，π3]上的单调递增区间；（2）求f（x）在[-π3，π3]上取的最大值时向

设函数f（x）=a•b，其中a=（2cosx，1）b=（cosx，3sin2x），x∈R．（1）求函数f（x）在区间[-π3，π3]上的单调递增区间；（2）求f（x）在[-π3，π3]上取的最大值时向

题目简介

设函数f（x）=a•b，其中a=（2cosx，1）b=（cosx，3sin2x），x∈R．（1）求函数f（x）在区间[-π3，π3]上的单调递增区间；（2）求f（x）在[-π3，π3]上取的最大值时向

题目详情

设函数f（x）=
a
•
b
，其中
a
=（2cosx，1）
b
=（cosx，
3
sin2x），x∈R．
（1）求函数f（x）在区间[-
π
3
，
π
3
]上的单调递增区间；
（2）求f（x） 在[-
π
3
，
π
3
]上取的最大值时向量
a
与
b
的夹角；
（3）若函数y=2sin2x的图象按向量
c
=（m，n）（|m|＜
π
2
）平移后得到函数y=f（x）的图象，求m，n的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意可得函数f（x）=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=1+2sin（2x+class="stub"π
6
），
令 2kπ-class="stub"π
2
≤（2x+class="stub"π
6
）≤2kπ+class="stub"π
2
，k∈z，求得 kπ-class="stub"2π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
，k∈z，故函数的增区间为[kπ-class="stub"2π
3
，kπ+class="stub"π
6
]，k∈z，
故函数f（x）在区间[-class="stub"π
3
，class="stub"π
3
]上的单调递增区间为 [-class="stub"π
3
，class="stub"π
6
]．
（2）由于f（x）=1+2sin（2x+class="stub"π
6
），当 x∈[-class="stub"π
3
，class="stub"π
3
]时，有2x+class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
2
，class="stub"5π
6
]，故当2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
时，函数取得最大值为3．
此时，x=class="stub"π
6
，中
a
=（2cosx，1）=（
3
，1 ），
b
=（cosx，
3
sin2x）=（
3
2
，class="stub"3
2
），
cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
3
×
3
2
+1×class="stub"3
2
2×3
=class="stub"1
2
，故＜
a
，
b
＞=class="stub"π
3
．
（3）把函数y=2sin2x的图象按向量
c
=（m，n）（|m|＜class="stub"π
2
）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+class="stub"π
6
） 的图象重合，
故有-m=class="stub"π
12
，n=1，即 m=-class="stub"π
12
，n=1．

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