首页 > 设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有f(x1)f(x2)+f(1-x1)f(1-x2)≤2，则关于函数f（x）有

设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有f(x1)f(x2)+f(1-x1)f(1-x2)≤2，则关于函数f（x）有

题目简介

设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有f(x1)f(x2)+f(1-x1)f(1-x2)≤2，则关于函数f（x）有

题目详情

设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则关于函数f（x）有：
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）当x∈（0，1），函数y=
f(x)
x
+x为减函数．
上述四个命题中正确的有______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

因为对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x1=x，x2=1-x，则
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≥2
f(x)
f(1-x)
⋅
f(1-x)
f(x)
=2，
由②知
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≤2，所以必有
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
=2，当且仅当
f(x)
f(1-x)
=
f(1-x)
f(x)
=1，即f（x）=f（1-x）时取等号，所以（1）错误，（2）正确．
（3）将②中的变量x1，x2，交换位置得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2，③，将②③相加得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤4，
因为
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
≥2
f(x2)
f(x1)
⋅
f(x1)
f(x2)
=2，
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2
f(1-x2)
f(1-x1)
⋅
f(1-x1)
f(1-x2)
=2，
所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥4，所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
=4，
当且仅当，
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1，取等号，所以f（x1）=f（x2），即对任意的变量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
所以f（x）为常数，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
所以y=
f(x)
x
+x=class="stub"c
x
+x，函数的导数为y'=1-class="stub"c
x2
，当x＞0时，由y'＜0得，0＜x＜
c
，所以函数在（0，
c
）上单调递减，所以当c＜1时，函数y=
f(x)
x
+x为减函数不一定正确．
故正确的是（2）（3）．

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